\section{Предел и непрерывность в пространстве $\complexnum$.}
  \subsection{Предел последовательности}
    Определим предел последовательности на \(\complexnum^n\). Определение оказывается
    таким же, как и в \(\realnum\).
    \definition[предел последовательности]{
      Пусть задана последовательность \(\{z_n\} \subset C\). Число \(z_0\)
      называется её \defined{пределом}, если \[
        \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{n > N} ~ \pred
          \abs{z_n - z_0} < \varepsilon
      \].
    }

    С другой стороны, из многомерного анализа у нас есть определение предела на
    банаховом пространстве \(\realnum^2\). Очевидно, что сходимость на
    \(\realnum^2\) и сходимость на \(\complexnum\) равносильны.
    \begin{theorem}[равносильность сходимости на $\realnum^2$ и на $\complexnum$]
      Пусть последовательности \(\{z_n\} \subset \complexnum\) и
      \(\{a_n\} \subset \realnum^2\) заданы так, что
        \[
          a_n = (\Re{z_n}, \Im{z_n})
        \].

        Тогда их сходимости равносильны.
    \end{theorem}
    \begin{proof}
      Для удобства обозначим
      \{
        \[
          \Re{z_n} = x_n
        \], \[
          \Im{z_n} = y_n
        \].
      \}
      Тогда
      \{
        \[
          z_n = x_n + \imath y_n
        \], \[
          a_n = (x_n, y_n)
        \].
      \}
      На пространстве \(\realnum^2\) введена евклидова норма, поэтому \[
        \norm{a_n - a_0} = \sqrt{(x_n - x_0)^2 + (y_n - y_0)^2} = \abs{z_n - z_0}
      \].

      Теперь запишем сходимости для \(\{a_n\}\) и для \(\{z_n\}\):
      \{
        \[
          \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{n > N} ~ \pred
            \norm{a_n - a_0} < \varepsilon
        \], \[
          \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{n > N} ~ \pred
            \abs{z_n - z_0} < \varepsilon
        \].
      \}
      Так как \(\norm{a_n - a_0} = \abs{z_n - z_0}\), сходимости просто
      равносильны.
    \end{proof}

    Также из многомерного анализа известно, что сходимость на \(\realnum^n\)
    равносильна координатной сходимости.
    \begin{theorem}[равносильность сходимости и сходимости вещественной и мнимой
    части]
      Пусть \[
        z_n = x_n + \imath y_n
      \]. Тогда сходимость \(z_n\) равносильна сходимости \(x_n\) и \(y_n\).
    \end{theorem}
    Действительно, \(z_n \to z_0 \iff a_n \to a_0 \iff (x_n \to x_0) \land
    (y_n \to y_0)\). Но доказательство того факта, что сходимость равносильна
    координатной сходимости, хоть и приведено в анализе, довольно сложно, и
    совершенно не нужно здесь. Поэтому докажем эту теорему непосредственной
    проверкой.
    \begin{proof}
      \begin{rightproof}[\(z_n \to 0\)]
        Это означает, что \[
          \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{n > N} ~ \pred
            \abs{z_n - z_0} < \varepsilon
        \]. Так как \(\abs{z_n - z_0} = \sqrt{(x_n - x_0)^2 + (y_n - y_0)^2}\), \[
          \abs{x_n - x_0} = \sqrt{(x_n - x_0)^2} \le
            \sqrt{(x_n - x_0)^2 + (y_n - y_0)^2} = \abs{z_n - z_0} < \varepsilon
        \].
      \end{rightproof}
      \begin{leftproof}[\(x_n \to x_0\) и \(y_n \to y_0\)]
        Это означает \{
          \[
            \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{n > N} ~ \pred
             \abs{x_n - x_0} < \varepsilon
          \], \[
            \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{n > N} ~ \pred
             \abs{y_n - y_0} < \varepsilon
          \].
        \}
        Также, \[
          \abs{z - z_0} = \abs{x - x_0 + i(y - y_0)} \le \abs{x - x_0} +
            \abs{y - y_0} < 2\varepsilon
        \]. Таким образом, \[
          \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{N} : \forall{n > N} ~ \pred
            \abs{y - y_0} < 2\varepsilon
        \].
      \end{leftproof}
    \end{proof}
  \subsection{Предел функции}
    Предел функции на комплексной плоскости определяется по Гейне.
    \definition[предел функции]{
      Пусть \(f(z) : \complexnum \to \complexnum\) определена в некоторой
      проколотой окрестности точки \(z_0\). Если для любой последовательности
      \(z_n \to z_0\) \[
        \lim_n f(z_n) = Z_0
      \], то \(Z_0\) называется \defined{пределом функции} \(f(z)\) в точке
      \(z_0\).
    }

    В многомерном анализе понятие предела функции на метрическом пространстве
    не вводилось за ненадобностью. Введём его здесь, точно так же, по Гейне:
    \definition[предел функции]{
      Пусть \(f(x) : \realnum^n \to \realnum^k\) определена в некоторой
      проколотой окрестности точки \(x_0\). Если для любой последовательности
      \(x_n \to x_0\) \[
        \lim_n f(x_n) = X_0
      \], то \(X_0\) называется \defined{пределом функции} \(f(z)\) в точке
      \(x_0\).
    }

    Из-за схожести определений сюда напрашивается очевидная
    \begin{theorem}[равносильность сходимости функции на $\realnum^2$ и $\complexnum$]
      Пусть \(f(z) : \complexnum \to \complexnum\), \(g(a) : \realnum^2 \to
      \realnum^2\), причём \[
        \big(\Re{f(x + iy)}, \Im{f(x + iy)}\big) = g(x, y)
      \]. Тогда \[
        \lim_{z \to z_0} f(z) = X_0 + iY_0
      \] равносильно \[
        \lim_{a \to a_0} g(a) = (X_0, Y_0)
      \], где \(z = x + iy\), а \(a = (x, y)\).
    \end{theorem}
    \begin{proof}
      \begin{rightproof}[\[
        \lim_{z \to z_0} f(z) = Z_0
      \]]
        Это означает, что для любой последовательности \(z_n \to z_0\) \[
          \lim_n f(z_n) = Z_0
        \].
        Рассмотрим отдельно \(\Re f\) и \(\Im f\). Очевидно, что
        \{
          \[
            \lim_n \Re{f}(z_n) = X_0
          \], \[
            \lim_n \Im{f}(z_n) = Y_0
          \]
        \}

        Рассмотрим теперь функции \(u, v : \realnum^2 \to \realnum\), для которых
        \{
          \[
            u(x, y) = \Re{f(x + iy)}
          \], \[
            v(x, y) = \Im{f(x + iy)}
          \].
        \}

        \(z_n \to z_0\) равносильно \(a_n \to a_0\), а значит,
        \{
          \[
            \lim_{a \to a_0} u(a) = X_0
          \], \[
            \lim_{a \to a_0} v(a) = Y_0
          \].
        \}
        Окей, а теперь заметим, что \(g(x, y) \equiv (u(x, y), v(x, y))\),
        согласно условию теоремы.
      \end{rightproof}
      \begin{leftproof}
        Для этого нужно просто проделать всё в обратном порядке.
      \end{leftproof}
    \end{proof}

    Обозначение
    \{
      \[
        u(x, y) = \Re{f(x + iy)}
      \], \[
        v(x, y) = \Im{f(x + iy)}
      \]
    \}
    на будущее запомним, эти функции будут использоваться и дальше.

  \subsection{Непрерывность}
    Непрерывность определяется таким же образом, как и в многомерном анализе --
    через предел по Гейне. Так как здесь мы ввели предел функции, можно
    сформулировать и через предел, это будет равносильно.
    \definition[непрерывность на метрическом пространстве]{
      Пусть \(f : \realnum^n \to \realnum^k\). \(f\) называется
      \defined{непрерывной} в точке \(x_0\) если \[
        \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
      \].
    }
    На комплексной плоскости всё точно так же:
    \definition[непрерывность]{
      Пусть \(f : \complexnum \to \complexnum\). \(f\) называется
      \defined{непрерывной} в точке \(z_0\) если \[
        \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)
      \].
    }

    Вновь из-за схожести определений сюда напрашивается очевидная
    \begin{theorem}[равносильность непрерывности на $\realnum^2$ и на $\complexnum$]
      Пусть \(f(z) : \complexnum \to \complexnum\), \(g(a) : \realnum^2 \to
      \realnum^2\), причём \[
        \big(\Re{f(x + iy)}, \Im{f(x + iy)}\big) = g(x, y)
      \]. Тогда непрерывность \(f\) в точке \(z_0\) равносильна непрерывности
      \(g\) в точке \(a_0\).
    \end{theorem}
    \begin{proof}
      Это очевидным образом следует из предыдущей теоремы.
    \end{proof}

